Plato in het kwadraat

Bovenstaand schema is ontleend aan het boek van Rudy Rucker: Oneindigheid. Filosofie en wetenschap van het oneindige (1986). Volgens Rudy Rucker zijn er twee opvattingen over de werkelijkheid. De werkelijkheid komt voort uit het Ene, zoals Plato beweerde. Of de werkelijkheid is een oneindige verzameling, anders gezegd: de werkelijkheid is het Vele. Als 
je een verzameling als N (bijvoorbeeld de verzameling van alle natuurlijke getallen) als 
één bepaald object beschouwt, dan heb je het in feite over een oneindige verzame
ling. Maar bestaat dat wel, een oneindige verzameling? Als wiskundige heb je twee mogelijkheden je bent een platonist of een formalist. Platonisten geloven in het objectieve bestaan van oneindige verzamelingen. Formalisten  daarentegen geloven dat eindige beschrijvingen van wiskundige theorieën het enige is waarover we beschikken.

Maar er is nog een middenweg tussen beide standpunten. Dat is het intuïtionisme, hoewel dat eigenlijk ook een beetje een verkapt formalisme is. Zowel de de intuïtionist als de formalist geloven dat alleen potentiële 
oneindigheid kan bestaan. Een feitelijke oneindigheid zou volgens hen onmogelijk zijn. In hun optiek behoort het feitelijke oneindige in feite tot het Ene. Want als je N (de verzameling van alle natuurlijke getallen) beschouwt als een ongrijpbare Vele, behandel je N als een potentieel oneindige, nooit te voltooien verzameling. Toch weet de intuïtionist een uitweg te vinden uit een gebied, waar zowel de platonist als de formalist op een doodlopende weg uitkomen: het axioma van de logica, het principe van de uitgesloten derde, tertium non datur. Over die ontsnappingsroute gaat dit verhaal. Het is een verhaal dat zich begeeft in het meest glibberige grensgebied van de wiskunde, het gebied van de verzameling van alle verzamelingen. Zoiets als Plato in het kwadraat.

Bloggen is schrijven op weg naar het einde. Elke dag plaats ik een eindige tekst in een denkbeeldige ruimte zonder begin of eind.  Ooit ben ik met bloggen begonnen, omdat in mijn brein de balans tussen de input en de output van woorden verstoord was geraakt. Het is een kwestie van spijsvertering. Wat erin komt moet er ook weer uit, zij het in een andere vorm. Zo niet, dan krijg je verstopping en dat moeten we niet hebben. Lang heb ik gedacht dat je iets op moet schrijven, als je het wilt onthouden. Veel mensen denken nog altijd dat dit zo is. Zo maken ze aantekeningen van alles en nog wat. Sommigen houden zelfs een dagboek bij om te voorkomen dat ze vergeten wat ze meegemaakt hebben.

Zelf heb ik ook jarenlang een dagboek bijgehouden, maar bij het teruglezen merkte ik dat ik vrijwel alles vergeten was, juist omdat ik het had opgeschreven. Ik durf dan ook met een gerust hart de stelling te poneren, dat mensen dingen niet opschrijven om te onthouden, maar om te vergeten. Zodra iets op papier staat, wordt de inhoud van het genoteerde uit het geheugen gewist. Schrijven is primair een ontlasting van het brein. Letterlijk zelfs. Wie schrijft is aan de schijterij. Door te schrijven worden de mentale ingewanden gereinigd. Wat resteert is het opgeluchte gevoel dat ook een goede stoelgang teweeg kan brengen.

Soms denk ik wel eens dat het schrijven door de mens is uitgevonden vanuit een behoefte om te vergeten. Het geheugen heeft zich niet geformeerd bij de geboorte van het schrift, maar omgekeerd: de eerste schrifttekens waren rituele markeringen die bedoeld waren om een geestelijke inhoud uit het brein te verdrijven. Het schrift is ontstaan uit een diep gevoelde drang om de ‘demonen van de geest’ uit te drijven. Het schrift is dus in wezen een exorcistisch ritueel. Deze magische oorsprong van het schrift lijkt door sommige antropologische ontdekkingen bevestigd te worden. De eerste tekens stonden in dienst van de tovenarij. Het teken zuigt iets van de geest in zich op om een ‘betekenis’ te kunnen worden en als zodanig aan het brein te ontsnappen.

Taal zit in ons brein. Het is een mentaal gebeuren. Dat wil zeggen, dat taal in onze cultuur verbonden met is met wat je ‘mentalisme’ zou kunnen noemen, een manier van denken die we hebben geërfd van de oude kerkvader Augustinus. Mentalisme houdt in dat alle uitdrukkingen van de taal een verwijzende functie hebben, maar tegelijk dat dit verwijzen een proces is dat zich afspeelt in de geest. Taal is voor een groot deel geestelijk. Of beter gezegd, onze geest is taal. Door de taal hebben we een binnenkant. Maar ook natuurlijk een buitenkant. Woorden staan voor dingen in de werkelijkheid. En als je woorden aan elkaar plakt krijg je volzinnen die staan voor situaties opgebouwd uit allerlei dingen uit de werkelijkheid.

Voordat het eerste teken kon gaan ‘betekenen’, moest er een brug geslagen worden tussen de binnenwereld van de mens en iets dat zich daarbuiten zou bevinden. Of beter gezegd, met iets dat door het betekenen van het teken een ‘buiten’ werd. Een teken slaat geen brug tussen de geest ‘binnen’ en het betekende ‘buiten’, maar de brug zelf is gedeeltelijk ook geest. Het proces van het betekenen is in oorsprong magisch. In het teken wordt iets van de geest naar buiten geworpen. De act van de taal is een ‘extasis’. Het teken steekt uit in de wereld. De geest komt uit de fles. Tekenen is betekenen, dat wil zeggen: het beheksen van de wereld met taal.

In dit licht bezien wordt elke  gedachte die ik opschrijf een ontsnappings
poging uit mijn eigen brein. De binnenwereld van mijn brein is even werkelijk als de 
buitenwereld, maar toch blijven het twee gescheiden continenten die niet met woorden, die in de taal hun eigen werkelijkheid hebben, 
overbrugd kunnen worden. Alleen een  gedachte, die in taal wordt verwoord, zou een brug te 
kunnen slaan, hoewel geen enkele gedachte tot nog toe de pijlers van die brug  tussen binnen en buiten in beeld heeft kunnen brengen. Ook vandaag de dag weet niemand wat er 
werkelijk in ons brein gebeurt bij het verwoorden van een gedachte.  Maar toch moet het te verwoorden zijn.

Ik verzamel dan ook gedachten, niet alleen van mezelf maar ook van anderen. Dit is een eindeloze, onzinnige onderneming die 
tegelijk zin en einde heeft. Immers de complete verzameling van alle 
gedachten is zelf een gedachte en kan dus nooit een 
complete verzameling zijn. Hier wringt iets. Er moet dus één gedachte zijn die niet past in de complete 
verzameling van alle gedachten. Alle 
gedachten zitten in potentie binnen in mijn brein. Maar waar zit die ene gedachte die niet past binnen die complete verzameling van alle gedachten? Binnen, buiten, in beide of geen van beide? Wellicht zou 
die ene  gedachte de pijlers van de brug tussen binnen en buiten in beeld kunnen  brengen.

Een gedachte-experiment. Stel dat alle boeken in de Provinciale Bibliotheek te Leeuwarden een drukfout bevatten (1), en de dissertatie van L.E.J. Brouwer uit 1907 Over de grondslagen der wiskunde is een boek dat te vinden is in de bibliotheek (2). Dan volgt onontkoombaar de conclusie: het boek Over de grondslagen der wiskunde van L.E.J. Brouwer bevat een drukfout (3). Hier lijkt geen speld tussen te krijgen, maar toch zijn er mensen die de geldigheid van deze redenering in twijfel hebben getrokken. Wat gebeurt er eigenlijk? In de eerst plaats worden twee veronderstellingen van verschillende aard met elkaar gecombineerd: een zeer onwaarschijnlijke (1) en een voor het verloop van de redenering noodzakelijk ware (2). Deze veronderstellingen hebben beide betrekking op een verzameling objecten (A) en een eigenschap (E) van die objecten, namelijk het hebben van een drukfout. Al deze elementen zijn ondergebracht in een logische redenering met een bekend schema:

Als X de eigenschap E heeft (1)
En A behoort tot de verzameling X (2)
Dan heeft A de eigenschap E (3)

Tot zover is er niets aan de hand. Alle mensen zijn sterfelijk, Socrates is een mens, dus Socrates is sterfelijk. Maar laten we ons beperken tot de boeken in de Provinciale Bibliotheek. De redenering in dit voorbeeld gaat er vanuit dat alle boeken zonder drukfout niet in die bibliotheek te vinden zijn, geen onderdeel vormen van de verzameling, dus ook niet identiek kunnen zijn met het bepaald exemplaar uit die verzameling, namelijk het boek van Brouwer. Maar deze redenering is niet omkeerbaar. Als het boek van Brouwer een drukfout heeft, en dit boek is in de PB te vinden, dan volgt daar nog niet uit dat alle boeken zonder drukfout niet identiek kunnen zijn met het boek van Brouwer. Met andere woorden: dat een bepaald boek een drukfout heeft zegt nog niets over de identiteit ‘boek’ van een boek. Dit bepaalde boek met drukfout kan tegelijkertijd behoren tot een verzameling objecten met de identiteit ‘boek’ die wat groter is dan de PB en waarin ook exemplaren te vinden zijn zonder drukfout.

In ons voorbeeld wordt een veronderstelling gedaan over een eindige verzameling, namelijk een bibliotheek, en niet over een oneindige verzameling, bijvoorbeeld een getallenreeks. Ik zou alle boeken uit de PB stuk voor stuk kunnen opvragen en ze letter voor letter kunnen gaan naspellen. Bij het eerste boek zonder drukfout valt de hele redenering in duigen, want hij heeft dan geen realiteitswaarde meer. Dat wordt anders als je een bibliotheek in gedachten neemt met een oneindige omvang, van nu af te noemen de ‘Oneindige bibliotheek’, afgekort OB. Ten eerste kun je dan alle boeken niet stuk voor stuk opvragen, laat staan naspellen. Als je het toch gaat proberen en na tachtig jaar nog steeds geen boek zonder drukfout bent tegengekomen, dan kun je twee dingen doen. Of je zegt: ‘Ik geef het op en ga nu dood.’ Of je kunt alsnog de veronderstelling koesteren dat er ergens in de OB een boek moet uithangen zonder drukfout. Generaties trouwe volgelingen van de strenge wiskunde zouden je werk van vader op zoon kunnen voortzetten, en één zal het ooit vinden. Sterker nog, je kunt stellen, dat als je na tachtig jaar trouwe arbeid deze veronderstelling niet zou doen, blijkbaar alle boeken in de OB een drukfout hebben. En waarin verschilt de OB dan nog van de PB in ons voorbeeld?

Maar nu is er iets eigenaardigs gebeurd. De trouwe volgeling moet na tachtig jaar overgaan tot een bewijs uit het ongerijmde, de krampachtige poging om het bestaan aan te tonen van en bijzonder exemplaar van het verschijnsel boek, namelijk eentje zonder drukfout, om daarmee een dreigende tegenstrijdigheid te ontlopen: OB is PB. Maar wat lever deze daad van trouw hem op? Hij heeft een fantoom geconstrueerd, een boek zonder drukfout, om daarmee uit alle macht het grondbeginsel van zijn denken in stand te houden, namelijk dat er twee soorten boeken kunnen bestaan: boeken met en boeken zonder drukfout. Een derde soort bestaat niet. Dat zou een boek moeten zijn dat tegelijkertijd zowel een drukfout en geen drukfout bevat, en dat is absoluut onmogelijk. Tertium non datur, het principe van de uitgesloten derde kan niet worden verworpen. Sa is it en net oars.

Maar is dat wel zo? Laten we terugkeren naar ons voorbeeld. Het boek van Brouwer in de Provinciale Bibliotheek: ‘Over de grondslagen der wiskunde’. Het toeval wil dat dit boek daar inderdaad aanwezig is. In de alfabetische catalogus ergens tussen De gouden swipe van Abe Brouwer uit 1941 en Zondagsrust, een voordracht gehouden te Leeuwarden, door H. Brouwer op 3 december 1883 vond ik de titel van dit boek. Ik had nog nooit van L.E.J. Brouwer gehoord, maar ik kwam zijn naam ooit tegen in het dikke boek van Hofstadter Gödel, Esscher, Bach, een eeuwige gouden band In een van de vele langdradige conversaties tussen Achilles en de Schildpad, die in dit boek staan afgedrukt, geeft Achilles een raadsel op. Hij toont een gouden Aziatische asbak, waarop zes namen staan gegraveerd:

D e M o r g a n
A b e l
B o o l e
B r o u w e r
S i er p i n s k i
W e i e r s t r a s s

Deze reeks namen blijkt een fragment te zijn van de volledige lijst van alle grote wiskundigen, en op de achterkant van de asbak staat de zin: ‘Trek 1 af van de diagonaal om Bach in Leipzig te vinden.’ De oplossing van het raadsel wordt verderop vermeld. Als je de vette letters vervangt door de voorafgaande letters in het alfabet krijg je in plaats van DBOUPS de naam van een andere grote wiskundige CANTOR. ‘Frisia non cantat’ wordt weleens beweerd. Een wiskundige die als naam het Latijnse woord boor ZANGER draagt, daar moet iets bijzonders mee zijn. Cantor (1845-1918) blijkt de grondlegger te zijn van de Verzamelingenleer en creëerde de zogenaamde Tweede Getalklasse, getallen die ontstaan door van een ordetype als oneindig het naast hogere element te nemen, dus:

brouwer0001.jpg

Hofstadter gaat in zijn boek uitvoerig in op alles wat Cantor heeft bedacht, maar rept behalve in die ene naamsvermelding in het raadsel met geen woord over Brouwer.

Wie was Brouwer? Wikipedia vermeldt over hem onder meer het volgende:

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (Overschie, 27 februari 1881 – Blaricum, 2 december 1966) was een Nederlandse wiskundige en filosoof. Hij is de grondlegger van de intuïtionistische wiskunde en van de moderne topologie. In 1907 promoveerde hij cum laude op een proefschrift getiteld ‘Over de grondslagen der wiskunde’. Brouwer verwierp het principe van de uitgesloten derde (tertium non datur) en daarmee ieder bewijs uit het ongerijmde. Van Wittgenstein wordt gezegd dat hij, geïnspireerd door Brouwer, weer aan filosofie ging doen. Wittgenstein vond eerder dat hij met zijn Tractatus alles al gezegd had wat er te zeggen viel.

Ik heb de dissertatie van Brouwer opgevraagd in de PB. het boek moest kennelijk van heel ver komen want pas na een half uur hoorde ik mijn naam omroepen. Een lichte teleurstelling. Een onooglijk bruin boekje, formaat octavo, harde kaft, goudstempel op de rug, en spochtvlekken op de titelpagina. Toen ik het opensloeg rook ik de geur van oud papier. Er viel een blad uit. De stellingen van Brouwer. Ik raapte het op en zag dat het twee bladen waren die met een verroest nietje aan elkaar zaten. Mijn oog viel op stelling dertien:

XIII
De tweede getalklasse van CANTOR bestaat niet

Dat is wat je noemt lef hebben. Zes en twintig jaar zijn en beweren dat een van de beroemdste wiskundigen van je tijd uit zijn nek staat te kletsen. Thuisgekomen ben ik het boek gaan spellen, van begin tot eind. waarbij ik alleen de formules heb overgeslagen. En verdomd, op het moment suprème, midden in de bewijsvoering van stelling dertien, op pagina 150, vierde regel van onderen, daar stond hij, rillend in zijn prille naaktheid: een drukfout. Er staat ‘ogisch’ in plaats van ‘logisch’.

Ik heb slechts een existentiebewijs geleverd van iets dat voorkomt in een eindige, aftelbare verzameling. Maar ik heb niets geconstrueerd. Brouwer construeerde zijn eigen logica door het principe van de uitgesloten derde te verwerpen. Wiskundige objecten zijn volgens hem constructies van de geest. Wiskunde is een vrije activiteit die niet afhankelijk is van de ervaring en die zich baseert op een oerinstinct. Wat het oplevert is een open plek die het denken kapt in het oerwoud. De waarheid ligt niet in vaste spelregels gedefinieerd. Het woord ‘bewijs’ dient dan ook zoveel mogelijk te worden vermeden, laat staan een bewijs uit het ongerijmde. Of zoals Brouwer het zelf placht te zeggen. ‘Men zegt toch ook niet dat Whinger in 1865 de ‘beklimbaarheid’ van de Matterhorn heeft bewezen, maar dat hij de Matterhorn heeft beklommen.’

Op 2 december 1966 overleed Brouwer in Blaricum ten gevolge van een auto-ongeval. Zijn leerling Hans Freudenthal schreef in zijn in memoriam.

‘Brouwers stijl is die van een wiskundige die met zijn hoofd door een muur tracht te breken. Wonder boven wonder slaagde hij. Zijn goede genius wees hem de plaats waar de muur het zwakst was. Eén keer slaagde hij met zulk een brute methode en dat is één keer meer dan andere stervelingen beschoren is.’

Laat een reactie achter

(verplicht)

(verplicht, wordt nooit weergegeven)