De puzzels van Penrose


‘O strenge. wiskunde, ik ben u niet vergeten sinds uw wijze lessen, zoeter dan 
honing, in mijn hart druppelden. Van de wieg af heb ik er bewust naar verlangd uit uw bron te drinken die ouder is dan de zon.’

Comte de Lautréamont, De gezangen van Maldoror

De legpuzzel is het 
meest gangbare type puzzel, dat in allerlei variëtei
ten bij de erkende speelgoedhandel verkrijgbaar is. 
Aangezien de legpuzzel ooit machinaal is vervaardigd, is ze 
per definitie ook door anderen maakbaar. Daarmee 
onderscheidt deze categorie zich van de puzzel als 
wiskundig concept, die niet afhankelijk is van een 
materiële uitvoering. In tegenstelling tot een 
gewone puzzel is de oplossing hiervan ook niet bij 
voorbaat gegeven. Een wiskundige puzzel heeft niet 
een gevuld vlak als vertrekpunt, maar begint bij de 
vraag hoe een (Euclidisch) vlak op een bepaalde 
manier met puzzelstukjes te vullen is. Daarbij wordt 
meestal uitgegaan van een eindig aantal verschil
lende vormen. Een puzzel met oneindig veel ver
schillende stukjes is voor een wiskundige niet zo 
interessant. Hij is vooral geïnteresseerd in elegante 
manieren van ordening. Overigens spreekt hij 
meestal niet over ‘puzzels’ en ‘puzzelstukjes’ , maar 
over ‘tegels’ en ‘tegelproblemen’.

Dat soort proble
men zijn op het eerste gezicht heel eenvoudig, maar 
bij nader inzien vaak zeer ingewikkeld. De vraag 
bijvoorbeeld hoe je een vlak kunt bedekken met een 
gegeven aantal verschillende puzzelstukjes, heeft in 
de laatste decennia heel wat wiskundigen slapeloze 
nachten bezorgd. Dit ‘betegelen van het vlak’ kun je 
op twee manieren doen: periodiek en niet periodiek. 
Periodiek wil zeggen, dat een bepaald patroon zich in 
twee onafhankelijke richtingen zal herhalen. Bij 
niet-periodieke puzzelpatronen is er geen sprake van herhaling. In feite levert deze tweede categorie de 
meest interessante vragen op. Bijvoorbeeld: bestaan 
er eigenlijk wel verzamelingen van puzzelstukjes, die 
het vlak uitsluitend niet-periodiek betegelen? Zo’n 
puzzel heeft een bijzondere eigenschap. Ze zal zich 
nooit herhalen en zich eindeloos in steeds nieuwe figura
ties uitbreiden in het vlak.

Tot voor kort wist niemand of zulke puzzels er zijn 
of niet. Tegenwoordig zijn alle wiskundigen er van 
overtuigd dat ze werkelijk bestaan. Sterker nog, ze 
zijn zelfs in verschillende varianten ‘gevonden’. Het 
was de Amerikaanse wiskundige Raphael Robinson 
die in 1971 voor het eerst aantoonde dat een 
euclidisch vlak met een beperkt aantal verschillende 
puzzelstukjes ‘niet-periodiek’ te betegelen is. Eerst 
bewees hij dat dit mogelijk is met 20426 verschil
lende stukjes, later met 104 en tenslotte wist hij dit 
aantal zelfs terug te brengen tot slechts 6 (zie, 
figuuur 1).

figuur1.jpg

Daarmee was dit zeer ingewikkelde probleem 
opeens heel overzichtelijk geworden. De oplossing is 
ook door iedereen te controleren. Je hoeft immer 
niets anders te doen dan deze zes puzzelstukjes na te 
tekenen, het papier een flink aantal keren door de 
kopieermachine te halen, al die puzzelstukjes vervol
gens uit te knippen, en dan: puzzelen maar! Het 
patroon zal zich dan eindeloos uitbreiden zonder 
enige vorm van herhaling.

Twee jaar na deze ontdekking wist de Britse natuur
kundige Roger Penrose dit aantal van zes terug te 
brengen tot twee (zie figuur 2).

figuur 2.jpg

Opmerkelijk was dat Penrose geen eindeloze 
berekeningen nodig had, laat staan een krachtige 
computer. De hele onderneming vergde slechts een 
potlood en een kladblok. De twee verschillende 
puzzelstukjes van Penrose zien er op het eerste 
gezicht nogal simpel uit. De kneep zit hem in de a-
symmetrische, driehoekige uitstulpingen, die een 
eindeloze variëteit in koppelingen mogelijk maken. 
Iedere doe-het-zelver kan ermee aan de slag. Je 
kunt er je muren mee behangen, maar ook je vloer 
mee betegelen en zelfs – als je wilt – het Zaailand of 
het Sint Pietersplein. De patronen zullen zich nooit 
herhalen: ‘never a dull moment’!

Rest natuurlijk de vraag of er ook een niet-
periodieke puzzel te maken is met maar één puzzel
stukje. Zo’n stukje zou je dan eindeloos aaneen 
kunnen voegen in telkens weer andere patronen. 
Het zou wat je noemt ‘het ultieme puzzelstukje’ 
zijn, standaard leverbaar en overal anders toe te 
passen. Wat je noemt een gat in de markt! Wat een 
revolutie zou deze vondst teweeg kunnen brengen! 
Tegelfabrikanten zouden zich verdringen om het 
patent. Het zou ook een doorbraak betekenen in de 
puzzelbranche. Iedereen kan dan voortaan allerlei 
puzzels maken met stukjes die allemaal gelijk zijn.

Het betekent ook het einde van de puzzelvoorstel
ling. Geen pittoreske landschapjes meer of melige 
stadsgezichten. Alleen monochrome puzzels, die op 
zich zelf al prachtige patronen opleveren, worden als 
massaprodukt op de markt gebracht. Het voorbeeld 
is dan eindelijk abstrakt geworden. Op de deksel 
van de doos zal voorgoed het zwarte vierkant van 
Malevich prijken: ‘Black squares for the millions!’ 
Nooit meer een scheiding tussen kopie en origineel. 
Nee, kunst en leven verenigen zich. Mijnheer Jumbo 
en mijnheer Ravensburger zullen radeloos zijn. 
Hun hele collectie is immers in één klap hopeloos 
verouderd. Puzzelstukjes koop je voortaan per 
honderd, per duizend of per kilo. Ze zijn toch alle
maal hetzeIfde! Puzzelen zal zijn stoffige imago 
opeens verliezen. Het zal een nieuwe kunstvorm 
worden, niet alleen als ‘collectors item’ voor de elite, 
maar ook als een soort ‘Tangram’ voor de massa. 
Universeel en toch voor iedereen weer anders.

En wat te denken van de gevolgen voor architectuur 
en stedenbouw? Het vierkant en de rechthoek zullen 
dan definitief het veld moeten ruimen als basisvorm 
voor bouwvolumes. De nieuw ontdekte, a-periodieke 
puzzelvorm kan een aanzet gaan geven tot allerlei 
vormen van standaardisering, die tegelijk ruimte 
bieden voor zeer uiteenlopende toepassingen. De 
eisen van efficiency zullen voortaan niet meer in 
strijd zijn met de individuele wensen van de consu
ment. Interieurs van woningwetwoningen kunnen 
door deze gelukkige vondst met steeds 
dezelfde ‘unit’ in steeds wisselende configuraties 
worden ingericht.

De plattegronden van zieken- en 
bejaardenhuizen worden met deze nieuwe module 
een plezierig doolhof, dat tegelijk heel overzichtelijk 
blijft. Er zullen nieuwe buitenwijken op vinex-locaties verrijzen, maar dan met prachtige stratenplan
nen, die overal gelijk zijn en toch altijd weer anders. 
In een land, dat van oudsher moet woekeren met 
ruimte, zullen nieuwe mogelijkheden ontstaan op 
het terrein van ruimtelijke ordening. Ruilverkavelings
plannen worden op een nieuwe leest geschoeid. 
Polders anders ingericht, bollenvelden opnieuw inge
zaaid. Kortom, het aanzien van Nederland zal wezen
lijk gaan veranderen. De ontdekking van het ultieme 
puzzelstukje kan op den duur zelfs onze strenge volks
aard gaan aantasten. Het kale calvinisme en de kunst 
van Mondriaan, die hun stempel hebben gedrukt op 
stad en land, zullen definitief gaan wijken voor een 
woekering van organische levenspatronen.

Maar we weten helaas nog steeds niet of dit laatste 
puzzelstukje inderdaad bestaat. Misschien is dat ook maar beter zo. Dit uitzonderlijke exemplaar heeft 
immers veel weg van een soort ‘sluitsteen van de 
schepping.’ Het lijkt een wondertegel met mythi
sche proporties. Wat je noemt: ‘te mooi om waar te 
zijn’. Al die overspannen verwachtingen hebben ook 
een fundamentalistische ondertoon. De ultieme 
standaard van het laatste stukje mag dan garant 
staan voor een oneindige variëteit in toepassingen, 
het blijft één standaard. Als die eenmaal is gevon
den, zal niemand er aan kunnen ontsnappen. We 
zullen ons willens en wetens uitleveren aan de dicta
tuur van de niet-periodieke patronen, die de wereld 
voorgoed gaan veranderen.

Opeens zal blijken, dat 
de natuur geen heilzaam alternatief meer in petto 
heeft. Een ongebreidelde complexiteit kan ons niet 
meer genezen van onze vervreemding. Systeem en 
chaos blijken op de zelfde leest te zijn geschoeid. Er 
is dan immers geen afwijking meer van de norm, 
geen toeval dat wetten nog tart. Het wordt definitief 
een wereld van ‘alles is anders’ en ‘anything goes!’ 
Maar daarmee is er ook geen uitzondering meer, die 
de regel bevestigt. De regelmaat bestaat bij de gratie 
van de afwijking en als de afwijking regel wordt, dan 
verdwijnt de fundamentele predispositie van het 
verschil, die het unieke mogelijk maakt. Wil de 
wereld leefbaar blijven, dan zal zich altijd iets aan 
standaardisering moeten onttrekken. Al was het 
maar één stukje van de puzzel, dat niét past.

Dictators zijn zeer gehecht aan uiterst regelmatige 
patronen, zoals marcherende soldaten, knots
zwaaiende menigtes en gigantische figuraties van 
gekleurde lapjes op de tribunes van een stadion. Dat 
zijn de periodieke puzzelpatronen, die zich overal 
aandienen waar het collectieve ideaal de norm wordt 
en het individu in de massa verdwijnt. Ze lijken te 
horen bij een eeuw, die gelukkig voorbij is. Het uniform 
is op zijn retour. We staan aan de vooravond van het 
tijdperk van niet-periodieke patronen. Dat wordt 
een tijd, waarin de massa verdwijnt in het individu, 
een collectieve moraal in relativisme van waarden. 
De utopie en de ideale structuur maken plaats voor 
begrippen als ‘deconstructie’ en ‘differentie’. Het 
verbindend patroon is uiteengevallen in het principe 
van het fragment. De landkaart van de Balkan is een 
onoplosbare puzzel geworden.

De tijdloze waarheid 
verspintert in het besef van een voortdurend ver
schil. Ernst verandert in ironie. De filosofie wordt 
flinterdun. Muziek vervlakt tot een eindeloze varia
tie van pulserende ritmes, en de kaleidoscopische 
patronen van de electronische snelweg reduceren de 
geest tot een surfplank. Overal is sprake van een toe
nemende verscheidenheid in figuraties aan het oppervlak, die niet zelden als vermomming dienen 
voor een onderliggende, nog onbekende structuur. 
De chaotische ordening van de Aziatische ‘boom- 
town’ wordt het nieuwe voorbeeld voor een 
’stedenbouw zonder voorbeeld’. Coop Himmelblau 
tekenden al eens de plattegrond van een buitenwijk 
op het patroon van een zomers overhemd.

Het 
uniform wordt een uiting van lifestyle, het clubshirt 
ontleed in dazzle-painting. In de fractale patronen 
van Mandelbrot krijgt zelfs de chaos een systeem. 
De natuur lijkt hiermee een bevestiging te bieden 
van de huidige fascinatie voor ‘method in madness’. 
In die zin is de het ultieme puzzelstukje misschien 
wel een icoon van onze tijd. Hoe het ook zij, in deze 
grensvervaging tussen orde en chaos lijkt ook een 
gevaar te schuilen. Als de verscheidenheid aan het 
oppervlak zijn uiterste grenzen bereikt, is de terreur 
van de regelmaat misschien wel opnieuw in aan 
tocht. Wie weet keert Big Brother nog eens terug in 
een postmoderne gedaante: het Vierde Rijk als 
Virtual Reality!

Hoewel het ultieme puzzelstukje nog altijd niet is 
gevonden, is het in principe niet onvindbaar (of 
moet je ook hier zeggen: ‘on-denkbaar’ of ‘on- 
construeerbaar’). Er blijkt alleen geen beslissings
procedure te bestaan, waarmee de mogelijkheid of 
onmogelijkheid van dit meest fundamentele puzzel
stukje valt aan te tonen. Dat is inmiddels wèl aan
getoond. Daarmee blijft de verstokte puzzelaar 
opgescheept met een pijnlijk probleem. Het laatste 
stukje ontbreekt en dat is een onaangename gewaar
wording. De wereld is nog niet af! Erger nog, wisten 
we maar dat dit ene stukje niet kàn bestaan, dan 
hoefden we ook niet verder te zoeken. Nu zijn gene
raties wiskundigen misschien wel voor eeuwen 
gedoemd om door te blijven puzzelen. Hoeveel 
kladblokken moeten nog vol voordat het verlos 
sende ‘Eureka!’ kan klinken.

Stel je voor dat dit 
laatste stukje al ergens op de wereld zich schuil 
houdt! Misschien heeft iemand het ooit al in 
handen gehad, maar niet gezien. Misschien heeft 
M.C. Escher het al eens getekend. Wie zal het 
zeggen? In het Alhambra van Granada of zelfs in de 
kelders van het Princessehof kan zich die ene tegel 
bevinden, die exact de juiste vorm bezit.

De Engelse natuurkundige Rupert Sheldrake 
beweert bij hoog en bij laag, dat een puzzel makke
lijker te maken is, als iemand hem ooit al eens heeft 
opgelost. Er zou zich dan – wat hij noemt – een 
’morfogenetisch veld’ hebben gevormd, waarin de 
oplossing als het ware ‘besloten’ ligt. Dat veld zou zich in een bijzondere ruimte bevinden, een 
soort fluïdum, waar ons brein makkelijker toegang 
toe heeft, sinds het moment dat iemand – waar ook 
ter wereld – die toegang heeft geforceerd. Hoewel 
deze stelling nooit bewezen is, zijn er verschijnselen, 
die wellicht op deze wijze te verklaren zijn. Vogels 
bijvoorbeeld schijnen gelijktijdig en op grote 
afstand van elkaar te kunnen leren hoe je de zilveren 
dop van een melkfles moet open pikken.

Kruis
woordpuzzels uit een oude krant lijken voor een 
ervaren puzzelaar minder weerstand te bieden dan 
een cryptogram in de krant van vandaag. Dat laatste 
is overigens wonderlijk, want degene die de puzzel 
heeft bedacht, moet hemzelf al hebben opgelost. Als de theorie van de morfogenetische velden wer
kelijk hout snijdt, dan zou het ultieme puzzelstukje 
- wanneer het eenmaal is gevonden – overal op de 
wereld vrijwel gelijktijdig moeten opduiken. 
Opeens ziet iedereen het, terwijl het er altijd al was. 
Maar waar was het dan, toen niemand het zag? Als 
dat ene stukje ooit in de wereld verschijnt, bestaat 
het dan nu al, op dit moment? Met andere woorden: 
is het er al, ook al is het er nog niet?

Of omgekeerd: als 
er nog niet is, hoe kan het er dan ooit zijn? Wat 
betekenen in dit verband de woorden ‘er zijn’? Waar 
zijn, hoezo zijn? Zweeft dit stukje – als Idee – ergens 
rond buiten de grot van Plato? Of ontstaat het pas 
als zijn contouren vagelijk zichtbaar worden in 
patronen op het behang? Stond het al op de deksel 
van de doos, toen God de wereld schiep? O liet hij 
het uit zijn handen vallen en hangt het nog ergens 
aan de zoom van zijn gewaad? Misschien zag hij het 
even over het hoofd, zoals ook het varken bij de schepping te laat 
kwam opdagen en alleen nog een krul in zijn staart kon 
krijgen.

Anders gezegd: heeft de eerste puzzel een 
deksel gehad of is wiskunde ook zonder ‘voor-beeld’ 
denkbaar? In het eerste geval is het iets als ‘pain
ting by number’: de wiskundige ontdekking behelst 
slechts het invullen van bestaande patronen. In het 
tweede geval is de wiskunde zoiets als moderne 
kunst: er worden voortdurend nieuwe patronen 
gevonden, waarvoor nog geen invulling bestaat. 
Kortom: is wiskunde een zaak van ontdekken of creëren? Dat is een vraag, die aan alles voorafgaat, 
zelfs aan de theorieën van Sheldrake.

Wiskundigen gebruiken wel eens de metafoor van 
een bergbeklimmer om de aard van hun onderne
ming voor gewone stervelingen duidelijk te maken. 
De top van Mont Blanc bestond allang voordat een 
mens daar voor het eerst zijn voetstappen achterliet. 
Toch kun je niet zeggen, dat de eerste alpinist, die boven kwam, ‘de beklimbaarheid van de Mont 
Blanc heeft bewezen’. Hij heeft de Mont Blanc 
beklommen! Iedereen die na hem zich een voor
stelling meent te kunnen maken van het uitzicht, 
dat zich op die unieke plek ontrolt, gebruikt zijn 
fantasie, of herinnert zich een afbeelding, maar 
spreekt niet uit eigen ervaring.

Wiskundige arbeid is 
dus een vorm van alpinisme. Je moet er geweest zijn, 
tegen je zelf kunnen zeggen: ‘Ik sta op een berg 
verdomme!’ Dan, en alleen dan, ontrolt zich het 
unieke panorama van de waarheid in de werkelijk
heid. Die metafoor van de alpinist, die voortdurend op 
weg is naar een top en altijd weer nieuwe hoogte
punten als uitdaging nodig heeft, vertoont enige 
gelijkenis met de moeizame en toch ook verslavende 
arbeid, die een puzzelaar zich moet getroosten om 
het laatste puzzelstukje op de juiste plaats te kunnen 
leggen. Zoals een bergbeklimmer alleen stap voor 
stap zijn doel bereikt, zo dient ook de puzzelaar eerst 
alle stukjes in handen te hebben gehad, om ook het 
laatste gat te kunnen dichten.

Puzzelaars en wiskun
digen betreden ieder op hun eigen wijze het hoog
gebergte van de geest. De lucht is daar ijl, maar het 
laatste uitzicht vergoedt veel. Een puzzel leggen 
van de Mont Blanc, waarbij het allerlaatste stukje 
de hoogste top blijkt te zijn, dat moet voor wis
kundigen een kick zijn in het kwadraat!

Figuur 1 en 2 zijn ontleend aan het boek van Roger 
Penrose, De nieuwe geest van de keizer, over computers, de 
menselijke geest en de wetten van de natuurkunde, 
Amsterdam 1990.

Laat een reactie achter

(verplicht)

(verplicht, wordt nooit weergegeven)